(1a)

La famosa formula scritta sopra mostra che l'energia di un quanto di luce equivale alla sua frequenza (nu, si può indicare anche con f) moltiplicata per la costante di Planck h, siccome la frequenza di un onda equivale all'inverso del periodo della frequenza stessa e dato che il periodo di un onda è equivalente a: lunghezza d'onda (lambda)/velocità della luce (c), la 1a si può scrivere come:

(1b)

La tensione (Va) di "attivazione" necessaria per superare la regione di svuotamento di una giunzione PN, in modo che un elettrone si combini con una lacuna ed emetta un pacchetto di energia è anch'essa proporzionale alla costante di Planck secondo la relazione:

(2)

V_a quindi dipende dal rapporto tra l'energia del fotone (E_ph) e la carica dell'elettrone (e), sommato a una costante (phi/c) che è una caratteristica del materiale semiconduttore dei diodi LED . L'esperimento si fonda su tale relazione ipotizzando che la costante (phi/c) sia uguale per qualsiasi LED di qualsiasi colore (entro un certo margine di errore trascurabile).
Se alla 2 si sostituisce E_ph con la 1a si ottiene:

(3)

Tuttavia per l'equivalenza riportata in precedenza:

(1)

Si può usare la 1b e la 3 si può scrivere così:

(4)

Per semplificare possiamo identificare la costante phi/c come incognita k:

(5)

Appare evidente che questa è l'equazione di una retta infatti se y = V_a e x=1/lambda, il rapporto hc/e non è altro che il coefficiente angolare della retta (vedi immagine della lavagna nel paragrafo seguente). L'unico problema è che la costante k è sconosciuta ma siccome è uguale per qualsiasi LED o lunghezza d'onda, la possiamo trascurare.
Il punto focale dell'esperimento in sostanza è trovare il coefficiente angolare da cui si può ricavare h dato che sia c, sia e sono noti. Per fare questo è necessario tracciare un grafico e avere a disposizioni LED di diversa lunghezza d'onda, in modo che i dati sul grafico siano quanti più possibile.

Si parte con il potenziometro al massimo valore ohmico e da un valore di tensione in cui la corrente I_a nel LED sia zero (non bisogna superare i 3V altrimenti il LED brucia), poi si procede ad alimentare il LED per step a frazione di volt, es ogni 0.05V e si segna su un foglio di calcolo il valore di corrente corrispondente.

Alla fine si deve ottenere un grafico in cui sull'asse x si ha la tensione e sull'asse y la corrente. Il passo successivo è quello di determinare il ginocchio della funzione, ovvero dove il LED inizia ad emettere luce ( V_a) e dove la funzione non è lineare (dove per valori di tensione successivi inizia la linearità). Questo si può ottenere trovando la regressione lineare semplice, sia graficamente, sia la sua funzione (NON utilizzare excel), a tale scopo esistono anche dei tool online (Regressione lineare).

Il punto del ginocchio ( V_a) si può determinare graficamente, oppure tramite analisi matematica. La retta della regressione lineare intersecherà una retta determinata tra due punti del grafico, quindi tra questi due punti si può calcolare la retta passante e poi il punto di intersezione tra le due rette (quella della regressione e quella tra i due punti considerati), tale punto ci indicherà il valore esatto di V_a.

La retta passante per due punti si determina con l'equazione:

Per ottenere tale funzione ci sono anche dei comodi tool online ( Qui oppure qui).
Ottenuta la funzione della retta si trovano le coordinate del punto di intersezione tra le due rette facendo un sistema canonico di sostituzione a due funzioni, il valore di x di tale punto è il valore di V_a relativo al LED misurato in precedenza.

Seconda parte

Dopo aver fatto le misure per ogni LED e quindi aver trovato i vari valori di V_a relativi ai LED a disposizione si prepara un nuovo grafico, in cui sull'asse y vengono riportati i valori di V_a in funzione dell'inverso delle lunghezze d'onda relative ai vari LED, quest'ultimo valore da indicare sull'asse delle ascisse. Il dato della lunghezza d'onda di emissione dei LED si può trovare anche sui datasheet in internet, ma se si vuole - e si ha la possibilità - si può misurare direttamente con uno spettrometro ottico come attività supplementare.

Da questo ultimo grafico bisogna ricavare di nuovo la regressione lineare, il cui coefficiente angolare della retta risultante corrisponde al rapporto hc/e, dal quale è facilmente ricavabile il valore della costante di Planck h.

Prendiamo il LED giallo come esempio che poi andrebbe ripetuto per tutti i LED. Dopo aver trovato i valori di tensione e corrente si può iniziare a tracciare il grafico (anche tramite excel, il quale invece non va usato per trovare la funzione della regressione lineare - la retta tracciata da excel sembra corretta ma la sua funzione per qualche motivo che mi sfugge non lo è).

Di seguito meglio andare su GraphPad (o latro software di analisi) per trovare la regressione lineare (GraphPad online) inserendo i valori di tensione per le x (1.65 1.7, 1.75, 1.8, 1.85, 1.9, 1.95, 2, 2.05, 2.1) e i valori di corrente per le y (0 0.01, 0.03, 0.07, 0.18, 0.5, 1.25, 3, 6.6, 14). Lo strumento restituisce un grafico e una serie di dati analitici, la cosa importante è vedere dove la retta passa nel grafico e copiare l'equazione della retta (in questo caso: y = 23.13x - 40.81).

A questo punto per trovare il punto esatto di intersezione tra il grafico e la retta passante, un metodo è quello di calcolare la funzione della retta passante per i due punti del segmento in cui passa la retta della regressione, in questo caso tra il terzo e quarto punto, cioè le coppie 1.75, 0.03 e 1.8, 0.07.

Se si trova la retta passante per questi due punti poi si può trovare il punto di intersezione tra le due rette.

Il risultato utilizzando uno dei tool online visti in precedenza ( Retta per due punti ) indica la funzione: y = 0.8x -1.37

Ora si risolve il sistema tra le due equazioni per trovare il punto di intersezione:
y = 0.8x -1.37 (1)
Y = 23.13x -40.81 (2)
Dalla 1 si ha x=y/0.8 +1.71 sostituendo la x nella 2 si ottiene y=0.045 e sostituendo questo valore di y nella 1 si ha x=1.76.

Quindi il punto di intersezione tra le due rette ha coordinate x = 1.76 e Y = 0.045, la x è il valore cercato di Va relativo al LED giallo ovvero 1.76V.

Passaggio finale per determinare la costante di Planck

A questo punto su un foglio di calcolo si possono indicare le lunghezze d'onda dei vari LED in funzione dei valori di tensione Va relativi a ogni LED. Lo scopo è tracciare l'ultimo grafico dove x = 1/lambda e y = Va. Questi dati vanno di nuovo utilizzati per determinare la regressione lineare tramite il metodo usato in precedenza (tool online o altro), la funzione della retta risultante nel nostro caso è y = 1182x -0.2997, quindi 1182 è il coefficiente angolare ovvero il rapporto hc/e, da notare che sono stati utilizzati nm per la lunghezza d'onda quindi il valore va corretto moltiplicando per 10^-9. Da questo valore si può calcolare h=me/c
e = 1.602176634 × 10⁻¹⁹ coulomb
c = 299 792 458 m / s
m = 1182 × 10⁻⁹
da cui risulta h = 6.308x10^-34 che si può confrontare con il valore atteso: 6.62607015×10⁻³⁴ (J s, ovvero kg m²/s² s, ovvero kg m² s^-1)